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三次数学危机分别是什么

100次浏览     发布时间:2024-09-21 09:53:11    

从历史阶段上看,数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末,都是发生在西方文化大发展的时期,因此,数学危机的产生,都有其一定的文化背景。

第一次危机是古希腊时代,由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的;

第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后,由于对无穷小量的理解未及深透而引发的;

第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论,危及整个数学的基础而引起的。


第三次数学危机

在19世纪下半叶,经历2次数学危机后,严格建立了实数理论和极限理论的。法国大数学家庞加莱在1900年巴黎召开的国际数学家大会宣称:“数学的严格性看来直到今天才可以说是严格实现了。”

他对实数理论和极限理论的基础集合论给以了很高的评价,但事隔两年,在1902年突然传出了一个惊人的消息: 著名的哲学家、数学家罗素发现了集合论的概念本身岀现了矛盾。这就是罗素提出的著名集合悖论:“宇宙是不存在的。”

这个悖论通俗地说,即宇宙是由一切事物组成的集合,而宇宙本身也是一个事物,所以宇宙也应属于这个集合,而这是不可理解的。因为一个集合与组成这个集合的元素是有着本质区别的。也就是说,这个包罗万象的宇宙是不能存在的。因为,若宇宙存在,就会引出矛盾。写成集合语言为:

设S表示是由所有集合组成集合,即

S={x|x是一个集合},

无论S属于或不属于自身都会产生矛盾。


这样,罗素的悖论涉及集合论中一个最基本的概念“集合”。罗素悖论使得“任何确定条件的对象都可决定一个集合”这一条原则导致了矛盾。

这个矛盾大大动摇了集合论的基础,同时,也动摇了整个数学的基础,所以称此为第三次数学危机,为了消除以上的矛盾,数学家提出了各种不同的解决方案。后来公理化集合论的建立,成功排除了集合论中出现的悖论。所有集合组成的是一个类,而不是一个集合。

上面对悖论的解释太抽象,能通俗的解释这个矛盾吗?


来看看这个悖论的通俗解释:萨尔维村里的一名理发师,给自己立了一条店规,说到:“我只为不给自己刮脸的人刮脸。” 那么这位理发师该不该给自己刮脸?

假如他不给自己刮脸,那么他属于“不给自己刮脸的人”,按照他的说法他就要给自己刮脸;假如他给自己刮脸,他又属于“给自己刮脸的人”,按照他的说法就不该给自己刮脸。相互矛盾。


数学史上的三次危机对中国几乎无甚影响。在中国古代数学中无理数的产生极为自然,由开方产生的无理数,其操作运算就是它的自然解释;而极限的思想方法在中国数学中只是作为一种数学处理方法而已,丝毫没有什么危机。

西方数学的危机并不是自身形式的改变,而是人们对数学认识的改变;是人们对数学的理解发生了改变。

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